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数学模型
1. 近似
N3/6-N2/2+N/3 ~ N3/6。使用 ~f(N) 来表示所有随着 N 的增大除以 f(N) 的结果趋近于 1 的函数。
2. 增长数量级
N3/6-N2/2+N/3 的增长数量级为 O(N3)。增长数量级将算法与它的具体实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 O(N3) 与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。
3. 内循环
执行最频繁的指令决定了程序执行的总时间，把这些指令称为程序的内循环。
4. 成本模型
使用成本模型来评估算法，例如数组的访问次数就是一种成本模型。
注意事项
1. 大常数
在求近似时，如果低级项的常数系数很大，那么近似的结果是错误的。
2. 缓存
计算机系统会使用缓存技术来组织内存，访问数组相邻的元素会比访问不相邻的元素快很多。
3. 对最坏情况下的性能的保证
在核反应堆、心脏起搏器或者刹车控制器中的软件，最坏情况下的性能是十分重要的。
4. 随机化算法
通过打乱输入，去除算法对输入的依赖。
5. 均摊分析
将所有操作的总成本除于操作总数来将成本均摊。例如对一个空栈进行 N 次连续的 push() 调用需要访问数组的次数为 N+4+8+16+...+2N=5N-4（N 是向数组写入元素的次数，其余都是调整数组大小时进行复制需要的访问数组次数），均摊后访问数组的平均次数为常数。
ThreeSum
ThreeSum 用于统计一个数组中和为 0 的三元组数量。
public interface ThreeSum {
int count(int[] nums);
}
1. ThreeSumSlow
该算法的内循环为 if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) 语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) = N3/6-N2/2+N/3，因此它的近似执行次数为 ~N3/6，增长数量级为 O(N3)。
public class ThreeSumSlow implements ThreeSum {
@Override
public int count(int[] nums) {
int N = nums.length;
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = i + 1; j < N; j++) {
for (int k = j + 1; k < N; k++) {
if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) {
cnt++;
}
}
}
}
return cnt;
}
}
2. ThreeSumBinarySearch
将数组进行排序，对两个元素求和，并用二分查找方法查找是否存在该和的相反数，如果存在，就说明存在和为 0 的三元组。
应该注意的是，只有数组不含有相同元素才能使用这种解法，否则二分查找的结果会出错。
该方法可以将 ThreeSum 算法增长数量级降低为 O(N2logN)。
public class ThreeSumBinarySearch implements ThreeSum {
@Override
public int count(int[] nums) {
Arrays.sort(nums);
int N = nums.length;
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = i + 1; j < N; j++) {
int target = -nums[i] - nums[j];
int index = BinarySearch.search(nums, target);
// 应该注意这里的下标必须大于 j，否则会重复统计。
if (index > j) {
cnt++;
}
}
}
return cnt;
}
}
public class BinarySearch {
public static int search(int[] nums, int target) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (target == nums[m]) {
return m;
} else if (target > nums[m]) {
l = m + 1;
} else {
h = m - 1;
}
}
return -1;
}
}
3. ThreeSumTwoPointer
更有效的方法是先将数组排序，然后使用双指针进行查找，时间复杂度为 O(N2)。
public class ThreeSumTwoPointer implements ThreeSum {
@Override
public int count(int[] nums) {
int N = nums.length;
int cnt = 0;
Arrays.sort(nums);
for (int i = 0; i < N - 2; i++) {
int l = i + 1, h = N - 1, target = -nums[i];
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) continue;
while (l < h) {
int sum = nums[l] + nums[h];
if (sum == target) {
cnt++;
while (l < h && nums[l] == nums[l + 1]) l++;
while (l < h && nums[h] == nums[h - 1]) h--;
l++;
h--;
} else if (sum < target) {
l++;
} else {
h--;
}
}
}
return cnt;
}
}
倍率实验
如果 T(N) ~ aNblogN，那么 T(2N)/T(N) ~ 2b。
例如对于暴力的 ThreeSum 算法，近似时间为 ~N3/6。进行如下实验：多次运行该算法，每次取的 N 值为前一次的两倍，统计每次执行的时间，并统计本次运行时间与前一次运行时间的比值，得到如下结果：
| N | Time(ms) | Ratio |
|---|---|---|
| 500 | 48 | / |
| 1000 | 320 | 6.7 |
| 2000 | 555 | 1.7 |
| 4000 | 4105 | 7.4 |
| 8000 | 33575 | 8.2 |
| 16000 | 268909 | 8.0 |
可以看到，T(2N)/T(N) ~ 23，因此可以确定 T(N) ~ aN3logN。
public class RatioTest {
public static void main(String[] args) {
int N = 500;
int loopTimes = 7;
double preTime = -1;
while (loopTimes-- > 0) {
int[] nums = new int[N];
StopWatch.start();
ThreeSum threeSum = new ThreeSumSlow();
int cnt = threeSum.count(nums);
System.out.println(cnt);
double elapsedTime = StopWatch.elapsedTime();
double ratio = preTime == -1 ? 0 : elapsedTime / preTime;
System.out.println(N + " " + elapsedTime + " " + ratio);
preTime = elapsedTime;
N *= 2;
}
}
}
public class StopWatch {
private static long start;
public static void start() {
start = System.currentTimeMillis();
}
public static double elapsedTime() {
long now = System.currentTimeMillis();
return (now - start) / 1000.0;
}
}
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