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CyC2018
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99df96b561
commit
02fde522e6
@ -1,192 +1,318 @@
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<!-- GFM-TOC -->
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* [前言](#前言)
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* [Quick Find](#quick-find)
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* [Quick Union](#quick-union)
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* [加权 Quick Union](#加权-quick-union)
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* [路径压缩的加权 Quick Union](#路径压缩的加权-quick-union)
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* [比较](#比较)
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* [栈](#栈)
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* [1. 数组实现](#1-数组实现)
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* [2. 链表实现](#2-链表实现)
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* [队列](#队列)
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<!-- GFM-TOC -->
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# 前言
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用于解决动态连通性问题，能动态连接两个点，并且判断两个点是否连通。
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<div align="center"> <img src="pics/9d0a637c-6a8f-4f5a-99b9-fdcfa26793ff.png" width="400"/> </div><br>
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| 方法 | 描述 |
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| :---: | :---: |
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| UF(int N) | 构造一个大小为 N 的并查集 |
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| void union(int p, int q) | 连接 p 和 q 节点 |
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| int find(int p) | 查找 p 所在的连通分量编号 |
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| boolean connected(int p, int q) | 判断 p 和 q 节点是否连通 |
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# 栈
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```java
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public abstract class UF {
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public interface MyStack<Item> extends Iterable<Item> {
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protected int[] id;
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MyStack<Item> push(Item item);
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public UF(int N) {
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id = new int[N];
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for (int i = 0; i < N; i++) {
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id[i] = i;
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}
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||||
}
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Item pop() throws Exception;
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public boolean connected(int p, int q) {
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return find(p) == find(q);
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}
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boolean isEmpty();
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public abstract int find(int p);
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int size();
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public abstract void union(int p, int q);
|
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}
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```
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# Quick Find
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可以快速进行 find 操作，也就是可以快速判断两个节点是否连通。
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需要保证同一连通分量的所有节点的 id 值相等。
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但是 union 操作代价却很高，需要将其中一个连通分量中的所有节点 id 值都修改为另一个节点的 id 值。
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<div align="center"> <img src="pics/8f0cc500-5994-4c7a-91a9-62885d658662.png" width="350"/> </div><br>
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||||
## 1. 数组实现
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||||
```java
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||||
public class QuickFindUF extends UF {
|
||||
public class ArrayStack<Item> implements MyStack<Item> {
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public QuickFindUF(int N) {
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super(N);
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// 栈元素数组，只能通过转型来创建泛型数组
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private Item[] a = (Item[]) new Object[1];
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// 元素数量
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private int N = 0;
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@Override
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||||
public MyStack<Item> push(Item item) {
|
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check();
|
||||
a[N++] = item;
|
||||
return this;
|
||||
}
|
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||||
|
||||
@Override
|
||||
public int find(int p) {
|
||||
return id[p];
|
||||
}
|
||||
public Item pop() throws Exception {
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public void union(int p, int q) {
|
||||
int pID = find(p);
|
||||
int qID = find(q);
|
||||
|
||||
if (pID == qID) {
|
||||
return;
|
||||
if (isEmpty()) {
|
||||
throw new Exception("stack is empty");
|
||||
}
|
||||
|
||||
for (int i = 0; i < id.length; i++) {
|
||||
if (id[i] == pID) {
|
||||
id[i] = qID;
|
||||
Item item = a[--N];
|
||||
|
||||
check();
|
||||
|
||||
// 避免对象游离
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||||
a[N] = null;
|
||||
|
||||
return item;
|
||||
}
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||||
|
||||
private void check() {
|
||||
|
||||
if (N >= a.length) {
|
||||
resize(2 * a.length);
|
||||
|
||||
} else if (N > 0 && N <= a.length / 4) {
|
||||
resize(a.length / 2);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/**
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||||
* 调整数组大小，使得栈具有伸缩性
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||||
*/
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||||
private void resize(int size) {
|
||||
|
||||
Item[] tmp = (Item[]) new Object[size];
|
||||
|
||||
for (int i = 0; i < N; i++) {
|
||||
tmp[i] = a[i];
|
||||
}
|
||||
|
||||
a = tmp;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public boolean isEmpty() {
|
||||
return N == 0;
|
||||
}
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||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public int size() {
|
||||
return N;
|
||||
}
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||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public Iterator<Item> iterator() {
|
||||
|
||||
// 返回逆序遍历的迭代器
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||||
return new Iterator<Item>() {
|
||||
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||||
private int i = N;
|
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||||
@Override
|
||||
public boolean hasNext() {
|
||||
return i > 0;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public Item next() {
|
||||
return a[--i];
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
|
||||
}
|
||||
}
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||||
```
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# Quick Union
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## 2. 链表实现
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可以快速进行 union 操作，只需要修改一个节点的 id 值即可。
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但是 find 操作开销很大，因为同一个连通分量的节点 id 值不同，id 值只是用来指向另一个节点。因此需要一直向上查找操作，直到找到最上层的节点。
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||||
<div align="center"> <img src="pics/5d4a5181-65fb-4bf2-a9c6-899cab534b44.png" width="350"/> </div><br>
|
||||
需要使用链表的头插法来实现，因为头插法中最后压入栈的元素在链表的开头，它的 next 指针指向前一个压入栈的元素，在弹出元素时就可以通过 next 指针遍历到前一个压入栈的元素从而让这个元素成为新的栈顶元素。
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||||
|
||||
```java
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||||
public class QuickUnionUF extends UF {
|
||||
public class ListStack<Item> implements MyStack<Item> {
|
||||
|
||||
public QuickUnionUF(int N) {
|
||||
super(N);
|
||||
private Node top = null;
|
||||
private int N = 0;
|
||||
|
||||
|
||||
private class Node {
|
||||
Item item;
|
||||
Node next;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public int find(int p) {
|
||||
while (p != id[p]) {
|
||||
p = id[p];
|
||||
}
|
||||
return p;
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||||
public MyStack<Item> push(Item item) {
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||||
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||||
Node newTop = new Node();
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||||
|
||||
newTop.item = item;
|
||||
newTop.next = top;
|
||||
|
||||
top = newTop;
|
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|
||||
N++;
|
||||
|
||||
return this;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public void union(int p, int q) {
|
||||
int pRoot = find(p);
|
||||
int qRoot = find(q);
|
||||
public Item pop() throws Exception {
|
||||
|
||||
if (pRoot != qRoot) {
|
||||
id[pRoot] = qRoot;
|
||||
if (isEmpty()) {
|
||||
throw new Exception("stack is empty");
|
||||
}
|
||||
|
||||
Item item = top.item;
|
||||
|
||||
top = top.next;
|
||||
N--;
|
||||
|
||||
return item;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public boolean isEmpty() {
|
||||
return N == 0;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public int size() {
|
||||
return N;
|
||||
}
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||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public Iterator<Item> iterator() {
|
||||
|
||||
return new Iterator<Item>() {
|
||||
|
||||
private Node cur = top;
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public boolean hasNext() {
|
||||
return cur != null;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public Item next() {
|
||||
Item item = cur.item;
|
||||
cur = cur.next;
|
||||
return item;
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
|
||||
}
|
||||
}
|
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```
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||||
这种方法可以快速进行 union 操作，但是 find 操作和树高成正比，最坏的情况下树的高度为节点的数目。
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# 队列
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|
||||
<div align="center"> <img src="pics/bfbb11e2-d208-4efa-b97b-24cd40467cd8.png" width="130"/> </div><br>
|
||||
下面是队列的链表实现，需要维护 first 和 last 节点指针，分别指向队首和队尾。
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||||
# 加权 Quick Union
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为了解决 quick-union 的树通常会很高的问题，加权 quick-union 在 union 操作时会让较小的树连接较大的树上面。
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||||
理论研究证明，加权 quick-union 算法构造的树深度最多不超过 logN。
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|
||||
<div align="center"> <img src="pics/a4c17d43-fa5e-4935-b74e-147e7f7e782c.png" width="170"/> </div><br>
|
||||
这里需要考虑 first 和 last 指针哪个作为链表的开头。因为出队列操作需要让队首元素的下一个元素成为队首，所以需要容易获取下一个元素，而链表的头部节点的 next 指针指向下一个元素，因此可以让 first 指针链表的开头。
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||||
```java
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||||
public class WeightedQuickUnionUF extends UF {
|
||||
public interface MyQueue<Item> extends Iterable<Item> {
|
||||
|
||||
// 保存节点的数量信息
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||||
private int[] sz;
|
||||
int size();
|
||||
|
||||
boolean isEmpty();
|
||||
|
||||
MyQueue<Item> add(Item item);
|
||||
|
||||
Item remove() throws Exception;
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
```java
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||||
public class ListQueue<Item> implements MyQueue<Item> {
|
||||
|
||||
private Node first;
|
||||
private Node last;
|
||||
int N = 0;
|
||||
|
||||
|
||||
public WeightedQuickUnionUF(int N) {
|
||||
super(N);
|
||||
this.sz = new int[N];
|
||||
for (int i = 0; i < N; i++) {
|
||||
this.sz[i] = 1;
|
||||
}
|
||||
private class Node {
|
||||
Item item;
|
||||
Node next;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public int find(int p) {
|
||||
while (p != id[p]) {
|
||||
p = id[p];
|
||||
}
|
||||
return p;
|
||||
public boolean isEmpty() {
|
||||
return N == 0;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public void union(int p, int q) {
|
||||
public int size() {
|
||||
return N;
|
||||
}
|
||||
|
||||
int i = find(p);
|
||||
int j = find(q);
|
||||
|
||||
if (i == j) return;
|
||||
@Override
|
||||
public MyQueue<Item> add(Item item) {
|
||||
|
||||
if (sz[i] < sz[j]) {
|
||||
id[i] = j;
|
||||
sz[j] += sz[i];
|
||||
Node newNode = new Node();
|
||||
newNode.item = item;
|
||||
newNode.next = null;
|
||||
|
||||
if (isEmpty()) {
|
||||
last = newNode;
|
||||
first = newNode;
|
||||
} else {
|
||||
id[j] = i;
|
||||
sz[i] += sz[j];
|
||||
last.next = newNode;
|
||||
last = newNode;
|
||||
}
|
||||
|
||||
N++;
|
||||
return this;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public Item remove() throws Exception {
|
||||
|
||||
if (isEmpty()) {
|
||||
throw new Exception("queue is empty");
|
||||
}
|
||||
|
||||
Node node = first;
|
||||
first = first.next;
|
||||
N--;
|
||||
|
||||
if (isEmpty()) {
|
||||
last = null;
|
||||
}
|
||||
|
||||
return node.item;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public Iterator<Item> iterator() {
|
||||
|
||||
return new Iterator<Item>() {
|
||||
|
||||
Node cur = first;
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public boolean hasNext() {
|
||||
return cur != null;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
@Override
|
||||
public Item next() {
|
||||
Item item = cur.item;
|
||||
cur = cur.next;
|
||||
return item;
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
# 路径压缩的加权 Quick Union
|
||||
|
||||
在检查节点的同时将它们直接链接到根节点，只需要在 find 中添加一个循环即可。
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||||
|
||||
# 比较
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||||
|
||||
| 算法 | union | find |
|
||||
| :---: | :---: | :---: |
|
||||
| Quick Find | N | 1 |
|
||||
| Quick Union | 树高 | 树高 |
|
||||
| 加权 Quick Union | logN | logN |
|
||||
| 路径压缩的加权 Quick Union | 非常接近 1 | 非常接近 1 |
|
||||
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